Геометрия и планиметрия
Популярное в разделе
по рейтингуВсе инструменты раздела
Геометрия и планиметрия — 3 инструмента: площади и периметры треугольников, кругов и многоугольников без чертежных мучений
Любая плоская фигура рассказывает о себе двумя числами: площадью и периметром — остальное досчитывает теорема. Под бытовую и учебную геометрию без циркульных страданий доступно 3 инструмента. Считаются: треугольник по сторонам или основанию с высотой, трапеция, круг и его части, правильные многоугольники, гипотенуза по катетам. Опорный факт: площадь круга растёт как квадрат радиуса, поэтому большая пицца выгоднее двух малых почти всегда.
Методика — проверенные веками теоремы без самодеятельности: Пифагор для прямоугольного треугольника, Герон для трёх сторон, полусумма оснований на высоту для трапеции. Площадь круга — пи на квадрат радиуса, длина окружности — два пи эр. Рамка: считаются идеальные фигуры евклидовой плоскости, а перекосы настоящих стен меряются рулеткой и делятся на простые фигуры вручную. Результат точен в рамках ваших исходных размеров.
Что покрывает подраздел планиметрии: треугольники по любым трём сторонам, трапеции, круги с секторами, правильные многоугольники, диагонали и гипотенузы
Таблица сводит шесть фигур и их несущие формулы. Правая колонка — то, что стоит помнить с уроков, остальное досчитает калькулятор.
| Фигура | Что считается | Опорная формула |
|---|---|---|
| Прямоугольник | Площадь и периметр | длина на ширину, сумма сторон дважды |
| Треугольник | Площадь по разным данным | половина основания на высоту |
| Прямоугольный треугольник | Гипотенуза и катеты | сумма квадратов катетов |
| Трапеция | Площадь по основаниям | полусумма оснований на высоту |
| Круг | Площадь и длина окружности | пи на квадрат радиуса, два пи эр |
| Многоугольник правильный | Площадь по стороне | периметр на апофему пополам |
💡 Треугольник 3-4-5 — карманный прямой угол: отмерьте от угла три и четыре метра по стенам, соедините концы — ровно пять значит угол прямой. Этим приёмом штукатуры проверяют углы быстрее лазерного уровня, а стоит он одну верёвку и два гвоздя.
Кому считают фигуры: маляру с окрасочной площадью, дачнику с кривым участком, кровельщику со стропильной парой и восьмикласснику с задачником
Комната 3,8 на 4,2 с потолком 2,6: стены в периметре дали 16 метров, площадь оклеивания 41,6 квадрата минус окна и двери. Получилось 9 рулонов вместо прикидочных 12. Сэкономлено три рулона и одна поездка в магазин в час пик.
Пролёт половины дома 3 метра, подъём конька 1,5: гипотенуза стропила посчитана — 3,35 метра. Раскроённые доски сошлись в коньке без подпиливания, бригада работала без переделок, а обрезки пошли на ящики для рассады.
Круглая клумба радиусом 1,2 метра: длина окружности 7,54 метра, площадь 4,5 квадрата. Бордюрная лента куплена ровно, грунта заказано полтонны с малым запасом. Клумба засажена в выходные, а соседи записали числа в тетрадь.
Наследство-уголок похвастал тремя известными сторонами: 28, 35 и 21 метр. Формула Герона честно выдала 294 квадрата — без прямоугольной самообманывающей уверенности. Межевание подтвердило расчёт, и цена сотки встала на справедливую цифру.
Задача: трапеция с основаниями 8 и 14, высота 5. Полусумма 11 на высоту — 55 квадратных единиц. Ученик прогнал расчёт дома заранее, на контрольной написал ответ спокойным почерком и вышел за две минуты до звонка с пятёркой.
Шестигранная крыша со стороной 1,5 метра потребовала площадь кровли. Апофема посчитана, 5,85 квадрата дают заказ на мягкую черепицу с запасом. Беседка крыта без третьего заезда в гипермаркет, и чай внутри уже стынет от разговоров.
Формулы канона: Пифагор для прямого угла, Герон для трёх сторон, пи-эр-квадрат для круга — без домашних самоделок
Доверие здесь строится на теоремах, которые двадцать четыре века держат любую смету: сумма квадратов катетов даёт квадрат гипотенузы, полупериметр раскрывает площадь по трём сторонам, а площадь круга растёт как квадрат радиуса. Опорный пример прост: треугольник со сторонами 3, 4 и 5 имеет площадь ровно 6 и прямой угол в подарок. Честно назван и предел: считается идеальная плоскость, стены старой постройки меряйте по трём точкам и раскладывайте на простые фигуры. Расчёт исполняется в браузере, размеры не покидают вкладку.
Размеры вашей квартиры — ваши же планы, не для чужих журналов. Расчёт исполняется в браузере: промеры не покидают вкладку. Меряете вы — храните тоже вы.
Ошибки домашнего геометра: прямой угол предположен, высота спутана со стороной, круг умножен вместо квадрата, запас на подрезку забыт
⚠️ Расчёты верны идеальной плоскости, а кривизна настоящих стен — вопрос вашей рулетки и уровня. Промеряйте в трёх точках, раскладывайте сложное на простое и сверяйте двумя разбивками. Проектные работы с ответственностью выполняются по нормам и подписью. Условия использования — на странице «Условия».
Посчитайте свою фигуру прямо сейчас: комната, клумба или ферма не станут ждать, пока найдется черновик
Фигуры подстерегают в самых жилых местах: косая прихожая, круглая клумба, стропильная пара. Добавьте планиметрию в избранное — и следующая смета соберётся за чаем, а не в очереди возврата лишних рулонов.
Частые вопросы о площадях треугольников, кругов и многоугольников
Формулой Герона: посчитайте полупериметр и перемножьте его с разностями по каждой стороне, затем извлеките корень. Стороны 3, 4 и 5 дают площадь ровно 6. Калькулятор проделывает это за долю секунды и показывает шаги.
Любой прямой угол превращается в вычислимый: диагональ комнаты, стропило крыши, хватит ли поворота дивану. Сложите квадраты катетов, извлеките корень — гипотенуза готова. Проверка 3-4-5 показывает, прямой ли угол на самом деле.
Полусумма оснований умножается на высоту: основания 8 и 14 при высоте 5 дают 55 квадратных единиц. Высота — перпендикуляр между основаниями, а не косая сторона. Формула старше многих империй и не подводит.
Окружность — это край, считается как два пи эр и меряется линейными единицами. Площадь — содержимое, пи на квадрат радиуса, квадратные единицы. Бордюр берётся по первой, грунт клумбы — по второй.
Разбейте план на прямоугольники и треугольники, посчитайте каждую часть отдельно и сложите. Ниша добавляет, выступ отнимает. Сложная фигура всегда раскладывается на простые — это главный приём домашнего геометра.
Перпендикуляр из центра к стороне. Площадь правильного многоугольника — половина произведения периметра на апофему. Не путайте с радиусом до вершины: апофема всегда короче, и подстановка радиуса завышает площадь.
Рабочая норма — десять процентов сверх чистой площади: углы, подрезка и подгонка рисунка неизбежны. Для диагональной укладки закладывайте пятнадцать. Один неудачный рез всегда случается в последний рулон.
Площадь растёт как квадрат диаметра: сорок против двадцати это четырехкратная площадь, а две малые дают лишь удвоение. Дели́те цену на площадь — большая почти всегда побеждает по цене квадратного сантиметра еды.